8.4.2 Intervalo para la media si se conoce la varianza

Este caso que planteamos es más a nivel teórico que práctico: difícilmente vamos a poder conocer con exactitud $\sigma ^2$mientras que $\mu$ es desconocido. Sin embargo nos aproxima del modo más simple a la estimación confidencial de medias.

Para estimar $\mu$, el estadístico que mejor nos va a ayudar es $\overline {X}$, del que conocemos su ley de distribución:

$$\overline{X}{\leadsto}\underbrace{{ {{\bf N} \left( \mu,\frac... ...ay}{c} \mbox{un parámetro} \\ \mbox{desconocido} \end{array}}$$

Esa ley de distribución depende de $\mu$ (desconocida). Lo más conveniente es hacer que la ley de distribución no dependa de ningún parámetro desconocido, para ello tipificamos:

$$Z=\underbrace{ \frac{\overline{X}-\mu}{\frac{ \displaystyle \... ...nderbrace{{ {{\bf N} \left( 0,1 \right)} }}_{ \mbox{tabulada}}$$

Este es el modo en que haremos siempre la estimación puntual: buscaremos una relación en la que intervengan el parámetro desconocido junto con su estimador y de modo que estos se distribuyan según una ley de probabilidad que es bien conocida y a ser posible tabulada.

De este modo, fijado $\alpha\in (0,1)$, consideramos la v.a. $Z{\leadsto}{ {{\bf N} \left( 0,1 \right)} }$ y tomamos un intervalo que contenga una masa de probabilidad de $1-\alpha$. Este intervalo lo queremos tan pequeño como sea posible. Por ello lo mejor es tomarlo simétrico con respecto a la media (0), ya que allí es donde se acumula más masa (véase la figura 8.1). Así las dos colas de la distribución (zonas más alejadas de la media) se repartirán a partes iguales el resto de la masa de probabilidad, $\alpha$.

  

Figura: La distribución ${ {{\bf N} \left ( 0,1 \right )} }$ y el intervalo más pequeño posible cuya probabilidad es $1-\alpha$. Por simetría, los cuantiles $z_{\alpha /2}$ y $z_{1-\alpha /2}$ sólo difieren en el signo.

Vamos a precisar cómo calcular el intervalo de confianza:

• Sea $z_{\alpha /2}$ el percentil $100\cdot\frac{\alpha}{2}$ de Z, es decir, aquel valor de $I\!\!R$ que deja por debajo de si la cantidad $\frac{\alpha}{2}$ de la masa de probabilidad de Z, es decir:

  
  

  $${{\cal P}}[Z \leq z_{\alpha/2}]= \frac{\alpha}{2}$$
  
  

• Sea $z_{1-\alpha /2}$ el percentil $100\cdot\frac{1-\alpha}{2}$, es decir,

  
  

  $${{\cal P}}[Z \leq z_{1-\alpha/2}]= 1-\frac{\alpha}{2}$$
  
  

  Es útil considerar en este punto la simetría de la distribución normal, y observar que los percentiles anteriores son los mismos aunque con el signo cambiado:

  
  

  $$z_{\alpha/2}=-z_{1-\alpha/2}$$
  
  

• El intervalo alrededor del origen que contiene la mayor parte de la masa ($1-\alpha$) es el intervalo siguiente (cf. Figura 8.1):

  
  

  $$\left[z_{\alpha/2},z_{1-\alpha/2}\right]= \left[-z_{1-\alpha/2},z_{1-\alpha/2}\right]$$
  
  
  lo que habitualmente escribiremos como:
  
  $$\vert Z\vert\leq z_{1-\alpha/2}$$
  
  

• De este modo podemos afirmar que existe una probabilidad de $1-\alpha$ de que al extraer una muestra aleatoria de la variable en estudio, ocurra:

  
  

  $$\begin{eqnarray*}\left\vert Z \right\vert \leq z_{1-\alpha/2} &\Rightarrow& \\ ... ...ha/2}\cdot \frac{\displaystyle \sigma}{ \displaystyle \sqrt{n}} \end{eqnarray*}$$
  
  

De este modo un intervalo de confianza al nivel $1-\alpha$ para la esperanza de una normal de varianza conocida es el comprendido entre los valores

$$x_{\alpha/2}= \overline{X}- z_{1-\alpha/2}\cdot \frac{\displaystyle \sigma}{ \displaystyle \sqrt{n}}$$

$$x_{1-\alpha/2}= \overline{X}+ z_{1-\alpha/2}\cdot \frac{\displaystyle \sigma}{ \displaystyle \sqrt{n}}$$

La forma habitual de escribir este intervalo está inspirada en la Figura :

$${ \mbox{\fbox{$\displaystyle \mu = \overline{X}\pm z_{1-\alp... ...t \frac{\displaystyle \sigma}{ \displaystyle \sqrt{n}} $ } } }$$

  

Figura: Intervalo de confianza para la media.