8.4 Intervalos de confianza para la distribución normal

Dada una variable aleatoria de distribución gaussiana, $X{\leadsto}{ {{\bf N} \left( \mu,\sigma^2 \right)} }$, nos interesamos en primer lugar, en calcular intervalos de confianza para sus dos parámetros, $\mu$ y $\sigma ^2$.

He aquí un resumen de las situaciones que consideraremos:

Intervalo para la media si se conoce la varianza:

Este no es un caso práctico (no se puede conocer $\sigma ^2$ sin conocer previamente $\mu$), pero sirve para introducirnos en el problema de la estimación confidencial de la media;

Intervalos de confianza para la media (caso general):

Este se trata del caso con verdadero interés práctico. Por ejemplo sirve para estimar intervalos que contenga la media del colesterol en sangre en una población, la altura, el peso, etc, cuando disponemos de una muestra de la variable.

Intervalo de confianza para la varianza:

Éste es otro caso de interés en las aplicaciones. El objetivo es calcular un intervalo de confianza para $\sigma ^2$, cuando sólo se dispone de una muestra.

Estimación de tamaño muestral

La utilidad consiste en decidir cuál deberá ser el tamaño necesario de una muestra para obtener intervalos de confianza para una media, con precisión y significación dadas de antemano. Para que esto sea posible es necesario poseer cierta información previa, que se obtiene a partir de las denominadas muestras piloto.

Más adelante, consideramos el caso en que tenemos dos poblaciones donde cada una sigue su propia ley de distribución ${ {{\bf N} \left( \mu_1,\sigma_1^2 \right)} }$ y ${ {{\bf N} \left( \mu_2,\sigma_2^2 \right)} }$. Los problemas asociados a este caso son

Diferencia de medias homocedáticas

Se realiza el cálculo del intervalo de confianza suponiendo que ambas variables tienen la misma varianza, es decir son homocedáticas. En la práctica se usa este cálculo, cuando ambas variables tienen parecida dispersión.

Diferencia de medias (caso general)

Es el mismo caso que el anterior, pero se realiza cuando se observa que hay diferencia notable en la dispersión de ambas variables.